Запоминание формул

Введение

Часто говорят, что хороший математик должен уметь выводить все формулы и используемый аппарат. Целиком и полностью согласен. Но значит ли это, что сами формулы можно не учить ? Отнюдь нет... Заново выводить этот самый аппарат каждый раз, когда он нужен, по меньшей мере нерационально.

В этой статье я собираюсь обсудить некоторые приемы запоминания формул, к их выводу отношения практически не имеющие.

Наверняка Вы уже слышали о такой науке - мнемонике. Она изучает успешные способы запоминания последовательностей символов/знаков/слов и т.п. Можно ли применить ее трюки и для формул ? Ответ, разумеется, положительный. Да, можно, но сложно и неэффективно. Формулы, как и все обозначения математики, имеют внутренние законы, которые можно с успехом применить в деле. Это НЕ «совершенно несвязанные между собой символы», применяемые для запоминания мнемоникой.

Основа предлагаемой стратегии - запоминание некоей «точки отсчета», начальной позиции, и вычисление формулы целиком, основываясь на твердо известных правилах..

Пример

Для начала разберем простейший пример - формулу синуса суммы

Школа

Типичная школьная стратегия - выучивание «произношения» формулы. То есть нужно проговорить «синус альфа плюс бэта равно синус альфа косинус бэта плюс косинус альфа синус бэта», чтобы вспомнить, как пишется/выглядит формула.

Таким образом запоминание действительно происходит, но медленно и неэффективно.

Успешные ученики, как правило, визуально вспоминают формулу (сразу целиком или с начала к концу по мере письма - тогда задействуется и моторная память), синхронно проговаривая ее про себя. Это - весьма неплохой способ, НО совершенно непригодный для длинных и сложных выражений (очевидно, «длинный» и »сложный» для разных людей имеют разный смысл... Для одного это - 5 и более знаков, для другого - 15 и более).

Далее мы будем называть обычное запоминание коротких выражений стандартным запоминанием и не будем вникать в детали этой стратегии.

А можно..

В предлагаемом способе активнейшим образом используются ссылки на ранее написанное. С ними рассматриваемая формула будет звучать как

Обращаю Ваше внимание на два момента: во-первых, такой вид формулы не зависит от того, как называются аргументы - sin(x+y) запишется без проблем, а во-вторых, знак плюс в обоих случаях тоже допускает аналогичный подход. Скажем, что он - тот же. Это позволит легко запомнить даже более общую формулу

как нечто вроде 'синус(a+/-b) равен: синус(1 аргумента)косинус(2 аргумента) тот же знак поменять синус и косинус местами'

Простейшие (и самые важные) ссылки говорят о том, что далее пишется «то же», что и раньше, или «в том же (обратном) порядке».

Посмотрим на формулу косинуса суммы

Она запоминается абсолютно аналогично, как 'косинус(а+b) равен: косинус косинус[аргументов] противоположный знак синус синус[аргументов]'.

Итак... Запоминаем стандартным способом точку отсчета - левую часть формулы... А как запомнить, что дальше? Синусы там или косинусы.. Есть два работающих способа:

1. во-первых, можно применить ссылки и тут, сказав что 'косинус(а+b) равен: {та же функция} [от обоих аргументов] противоположный знак {другая функция} [подразумевая те же аргументы]'. Здесь использовано то, что синус и косинус довольно тесно взаимосвязаны и можно без проблем назвать синусы 'другими' функциями (или чем-то вроде этого). Если можно удобно применить этот метод, то все здорово. Но красиво сослаться на предыдущее можно не всегда... В этом случае:

2. создается приблизительный образ формулы. В этом образе должен быть 'скелет формулы', обычно включающий в себя константы, часто - знаки... В общем, то, на что нельзя удобно сослаться...

Посмотрим на классическую формулу дифференциальной геометрии, явно выражающую «символы Картоффеля» (Кристоффеля в официальной литературе):

Г с коэффициентами - собственно символы,
а g - некие функции, симметричные по обоим коэффициентам: g_ij=g_ji.

Как же запоминать всю эту красоту ?

Разберем запоминание точки отсчета...

Для начала посмотрим на левую часть формулы, где изображен собственно символ Г^k_ij. Если вы изучаете дифференциальную геометрию, то он, скорее всего, уже известен. Точнее говоря, уже запомнена стандартная запись символа (обычно потому, что часто использовалась в других выражениях).

Что тут можно сказать ? Очень хорошо. Такой символ займет всего одну единицу вашей памяти. Здесь только одно замечание: если стандартная запись символа, например, Гⁱ_jk, а в запоминаемой формуле вдруг по-другому - не пожалейте минуты - смените обозначения, чтобы символ приобрел стандартную запись. Если вместе с тем фактом, какой символ стоит слева (1 единица), запоминать еще и его конкретное написание - совсем худо будет.

Если символ совсем неизвестен или его нестандартная запись обязательна - странно, но бывает. Что ж, придется обратиться к мнемонике/стандартному способу. Пример мнемонического запоминания такого вида символов будет рассмотрен ниже, пока же предположим, что левую часть равенства мы запомнили.

Далее создаем приблизительный образ формулы.. Он, очевидно, должен включать какую-то минимальную информацию, которую, кроме как из образа, воссоздать нельзя (сложно). Например:

При вспоминании восстанавливаем формулу по ее образу.. Как ? Более подробно разберем процесс ниже. А пока - небольшое лирическое отступление.

Внутренние законы и свойства формул

Во-первых, формулы, как и любые математические выражения, могут обладать различными свойствами. Вот некоторые из них.

• Симметрия - при перемене пары обозначений местами формула остается такой же
• Кососимметрия - при перемене пары обозначений местами формула меняет знак
• Четность/нечетность выражения... и т.п.

Кроме того, в самом строении формулы может быть заложена какая-то закономерность. Например, компоненты в каждой из частей могут изменяться по определенному закону. Тогда, имея в виду этот закон, можно просто ссылаться на уже написанное. Таких законов всего несколько, они давно знакомы (долгосрочная память), поэтому оказывается, что в памяти хранится лишь ссылка на предыдущее и ссылка на закон :). Как правило, это является хорошей помощью в запоминании. Подобный случай мы разберем ниже.

«Вычисление формул»

Законы построения и свойства формул применяются не для запоминания, а для вычисления формул на ходу.

После вспоминания зрительного образа процесс 'дополнения' весьма своеобразен. Что возможно - вычисляется из уже готового: работают простые ссылки на ранее написанное и ссылки с законами изменения написанного. Что нельзя вычислить - восстанавливается так, чтобы свойства формулы не нарушались...

Вплоть до необходимости подставить какие-то простейшие значения (нули, например) в формулу и по результату выбрать одну из возможных альтернатив восстановления, хотя этот вариант обычно применяется только при необходимости вспомнить почти забытое. Иногда так можно восстановить закон изменения компонент формулы - тут тоже спасает то, что их всего несколько.

Ну и знание, как выводится формула, тоже может быть привлечено к восстановлению каких-то конкретных деталей (скажем, из общих принципов доказательства может следовать какой-то факт, и точно вспоминать процесс вывода вовсе ни к чему).

Общий стоящий за этим принцип таков: меньше информации для запоминания - больше увязки с уже твердо усвоенным (долговременная память).

Итак, общая идея метода, я надеюсь, понятна:

1. Запоминается исходная точка - вне зависимости от чего бы то ни было, такую точку иметь необходимо, так как именно исходная точка запускает основной процесс вспоминания (триггер). Кроме того, она также служит 'точкой отправления' для моторной памяти. Она должна иметь как можно более простой и удобный вид, а запоминать ее желательно всеми системами (зрение, моторная память, звук).

2. Создается некий образ, включающий в себя то, что нельзя удобно (то есть используя известные законы или просто так) восстановить по ссылке.

При вспоминании идет восстановление формулы, используя ссылки/законы построения и свойства формулы.

Итак, посмотрим на формулу 'Символов Картоффеля' еще раз.

Слева находится стандартное обозначение символа - этот факт запомнить тривиально.. Все-таки формула - для него. Первый пункт, мы, надеюсь, рассмотрели достаточно подробно.

Рассмотрим повнимательней пункт 2...

Вот - старый пример приблизительного образа:

Важно понять, что приблизительный образ совершенно не обязательно появляется целиком и сразу при вспоминании формул. Для одних это действительно так, а у других этот образ проясняется или появляется по мере письма. Поймите, как естественней для Вас, и стройте стратегию, учитывая этот момент. Большинство людей предпочитают вспоминать образ 'по ходу' письма, поэтому далее я буду ориентироваться на такой способ восстановления.

Далее.. Уточним понятие 'минимальной информации'... В образе должны содержаться основные части формулы, на которые нельзя удобно сослаться. Кроме 'скелета' формулы, обычно состоящего из больших, легко запоминаемых обозначений, это также - некие пометки: где дальше писать, что еще требуется заполнить в формуле. На рисунке такие пометки изображены неясными расплывчатыми пятнами, приблизительный аналог того, как их вставляют в образы реальные люди(выберите свой способ пометки).

Теперь мы лучше знаем способы восстановления информации, а значит, можем провести необходимые изменения, превращая этот образ из 'примера' в реально работающий. Очевидно, две последние производные ∂g/∂x можно заменить ссылками.. А вот от знаков никуда не деться, как и от константы 2... У первого g два верхних коэффициента: k и l, причем для l это первое появление в формуле... Очевидно, ее тоже нужно внести в образ... Но где? Если вводить ее везде - сложно будет.

Посмотрим на часть формулы в скобках повнимательней... Каждый может заметить это, исходя из своих соображений и опыта, но коэффициенты переставляются по циклу! Происходит как бы вращение трех коэффициентов по часовой стрелке...

Последняя пара не совсем, какая нужно... По закону наверху должны оказаться ji... Но мы знаем (смотри исходное определение), что функции g симметричны, а значит можно непостредственно в формуле поменять эти ji местами, и тогда все будет меняться точно по циклу:

Итак, два последних ∂g/∂x могут быть получены целиком из первого по одному закону... Их следует 'иметь в виду'.

Но нужно запомнить начальную точку, из которой идти (исходную позицию индексов). Ситуация осложняется тем, что перед последней производной стоит знак минус. Если бы его не было, то было бы вовсе без разницы, какую комбинацию l,i,j брать первой ввиду симметрии g_ij.

Как бы это вывести из уже запомненного... Ах, да проще некуда! Посмотрим на первый символ l. Если идти от него влево-вниз, то как раз и пройдем все, что надо, в нужном порядке - т.е по часовой стрелке..

Ну и, дабы закончить сей процесс... Тут еще k лишнее у g вверху... Да и вообще.. Как запомнить, что у этой g вверху kl ? Опять же.. Пользуясь описанным способом - легко.. Представим все в виде

Как это работает у меня...

Стрелки на рисунке, отмечающие законы (что куда), отнюдь не обязательно должны быть таковыми в вашем образе. Что касается лично меня - у меня при запоминании этой формулы в начальном образе остается одна большая серая стрелка и маленькая черта, то есть нечто вроде этого:

При воспоминании образ (статическая черно-белая картинка) анимируется и kl начинает ползти на свое место, появляется g/2 и т.п.. Триггером для анимации являются стрелки/черточки.. Далее знаки вспоминаются по мере написания, первая производная также (они, естественно, есть в образе). Эти детали стратегии специфичны для меня и могут быть заменены на удобную Вам внутреннюю систему обозначений.

Весь путь запоминания в реальности занимает не более минуты - от начала поиска оптимального пути и до создания конечного образа... Разумеется, пройтись от начала до конца во вспоминании формулы через минут 10 и через полдня тоже не повредит. У каждого - свое количество повторений до твердого запоминания. Некоторые мои знакомые повторяют один раз/ни разу :(

Путь, которым я шел, очевидно, не единственный возможный, а тот, который первый пришел в голову при запоминании (а, значит, скорее всего, и при расшифровке он же будет). Часть свойств формулы, основанная на свойствах ее составляющих, а также знание важного логического хода ее доказательства остались неиспользованными... Вообще говоря, эта избыточность есть хорошо. Она поможет при проверке формулы/при забывании каких-то частей. Все же зацепки для восстановления...

Пример 2

Предыдущая формула была взята почти наугад, но оказалась неожиданно удобной для запоминания. Следующую формулу я возьму полностью 'от балды', то есть самую длинную и сложную из учебника :).

Свойства:

Обращаю внимание, что свойства запомнить легко: 'косая симметрия' по двум последним индексам (что означает перемену знака при замене k↔l), сумма R с индексами, изменяющимися 'по циклу' равна нулю.

Итак, начинаем работу. Слева - стандартный символ. ijkl - обычный алфавитный порядок букв. В учебнике было iqkl, но я сразу переобозначил q→j, чтобы не осложнять работу. Благо, такой порядок наименований довольно типичен для подобного рода вещей, а значит, запомнить легко. Чем проще, тем лучше. Один общий принцип в обозначениях - уже опора на готовые знания.

Смотрим дальше.. Вон, во второй производной порядок обозначений такой же, как в левой части... Почему бы не вытащить его вперед.. Ну и два последних члена тоже местами поменяем, чтобы порядок знаков сохранился. Минус-плюс-минус-плюс (то есть минус-плюс, дальше ссылка - как раньше) запомнить легче, чем минус-плюс-плюс-минус.

Заметим, что первое и второе слагаемое правой части связаны очевидным образом: второе - добавок к первому, чтобы соблюдалась косая симметрия по kи l. То есть если поменять k и l местами, должно получиться противоположное число. Можно сказать и по-другому: эта сумма тоже кососимметрична по этим индексам... Да, кстати... Аналогичная ситуация и с третьим-четвертым слагаемыми...

Только вот неприятность: если первое и второе запоминаются очевидным образом: коэффициенты первого восстанавливаем по левой части, а дальше кососимметричное к нему (связь со свойством), то как запоминать третье (или четвертое?) - пока непонятно. А тут еще новый индекс s откуда-то взялся..

Ничего не остается, кроме как воспользоваться мнемоникой. Или нужно думать, что во-первых лень, а во-вторых, можно додуматься до способа, слишком чуждого стандартным системам кодирования. Да и вообще.. Если способ не пришел в голову сразу при запоминании, то, как правило, с ним и при восстановлении проблемы. Сильно положительную роль, как уже было указано, играет то, что законов всего несколько. Изобретать велосипеды сверх того не будем.

Основа мнемоники - в сопоставлении несвязным символам определенных образов, которые искусственным образом увязываются между собой, причем так, чтобы, по возможности, запоминаться всеми органами чувств, основные из которых - зрение, ощущения, слух.

Плохо тут то, что при введении таким образом запомненных символов формула распадается на 'два куска': первый восстанавливается с левой части (два первых слагаемых), а второй - с образа, обозначающего некую отправную точку... Нарушается общая концепция запоминания: следующая часть формулы 'следует' из предыдущей. Какой образ выбрать в качестве отправной точки ?

Первым пришел в голову образ для Гⁱ_sl. Честно говоря, сначала это была 'ГаЗеЛь' через яркую букву И, т.е гИЗеЛь, но после того, как я на первом повторении подумал, что З обозначает не s, а j, и с трудом выпутался, я заменил это на 'кИСеЛь'. Кисель был в синей бабушкиной кастрюле с намалеванной карандашом по стеклу надписью кИСеЛь. Маленькие буквы были почти незаметны, а большие - окрашены в резко-кислотные цвета и ощутимо выпрыгивали из картинки.

Формула действительно весьма необычная: такой способ запоминания я до этого применял всего раз или два... Сам выбирал подлиннее, однако :). Соблазнительно придумать нечто, позволящее легко восстановить индексы по левой части, но мешает s... Ничего хорошего не выходит. Итак, далее пойдет Гⁱ_sl, поэтому перепишем формулу

Логическая связка может быть такая: 'далее идет Г, как и раньше', а коэффициенты - тут возникает образ: кИСеЛь.

Обратите внимание, я сразу переписал и четвертое слагаемое, сделав его точным повторением третьего с перемещенными индексами k↔l для сохранения косой симметрии.

Второй множитель этого слагаемого с кИСеЛем (третьего) запомнить легко: индекс s в такой записи означает суммирование, он обязательно появляется в одном множителе сверху, а в другом - снизу, значит, очевидно, s сверху во втором сомножителе, а остальные индексы просто дописываем - каких нехватает.

Итак, законы построения понятны. В образе будут знаки, по вкусу - кИСеЛь, ну и, конечно, общий скелет - две производные и два произведения. Вся формула легко восстанавливается по левой части, обязательному знаку минус перед началом правой, по общему скелету, свойству (косая симметрия) и кИСеЛю... Все мелкие переходы утрясутся во время первого же повторения. Кстати.. свойство для запоминания понадобилось всего одно из двух данных.. Избыток, что, конечно, хорошо.

Зачем переписывать формулу каждый раз? Дело в том, что зрительная память автоматически/подсознательно захватывает образ формулы, который вы видите каждый раз при запоминании / повторении / проверке, а это - весьма полезный союзник, если видно то, что следует, и серьезная неприятность (хоть у подсознания и благие намерения) в противном случае.

Заключение

Ну вот я и дописал эту статью. Дал даже два сложных примера(особенно последний). Надеюсь, Вам стало понятно, что на самом деле все легко и просто. Нужно лишь освоить этот метод, элементы которого уже наверняка есть в Вашем арсенале.

Надеюсь, мое описание было достаточно подробным. Если что - пишите.

P.S. Способ запоминания формул в том виде, в каком он здесь дан, имеет один очень серьезный недостаток. Он не дает умения 'видеть' формулу в написанном выражении. Особенно ярко это проявляется в задачах на тригонометрию, где различных формул много, а узнать и эффективно 'свернуть' написанное можно в каждый момент решения только по нескольким из них.

'Увидеть' - означает узнать формулу справа налево, то есть по выражению cosAsinB + sinAcosB понять, что это - синус суммы.

Лечится этот минус довольно просто: в памяти хранится основной скелет формулы - это основное требование для того, чтобы 'видеть' формулу. Ранее, при восстановлении формулы, мы лишь искали возможность удобного восстановления скелета слева направо по мере письма, теперь необходима возможность его вспоминания целиком.

Как правило, после нескольких обращений это получается без проблем; на правую часть - отправную точку формулы мы по разным причинам обращали особое внимание - она прекрасно известна, а коэффициенты, с запоминанием которых возникали основные проблемы, при взгляде на написанное выражение, которое требуется 'узнать', уже есть.

© Кантор Илья, 2002,
e-mail: nlpstudent@mail.ru