Логические аспекты доказательства.

Основные мысли данной статьи:

В этой статье на абсолютно бредовом примере будет рассказано об абсолютно элементарных вещах... С которыми у многих бывают совершенно кошмарные проблемы. Даже если у Вас особых проблем нет, все равно вы наверняка найдете что-то интересное, а главное, полезное с точки зрения преподования математики в сем кратком опусе.

Самое важное: A => B - то же, что не B => не A. Для доказательства выбираем ту форму, в которой его легче провести.

Что такое необходимое, а что такое достаточное условие. Что такое критерий.

Что такое определение. Критерий и определение - одно и то же.

В статье будут рассмотрены логические аспекты доказательств, а также понятия:

Есть высказывание: из A следует B: ( A => B ).

Если это петух, то у него две ноги.

Верно ли обратное ? Двуногое существо, следовательно петух ? ];-)
Очевидно, это _НЕ ТАК_ .

Пусть нам дано некое утверждение, которое надо обосновать: A => B. Вот великолепная формализация всех "доказательств от противного" и т.п..

Для доказательств обычно выбирается одна форма, в которой его легче провести. И теперь вы понимаете, какая именно.

Например, нас спрашивают: не петух => не двуногое ?

Мозги не особо поворачиваются осмысливать это утверждение напрямую. Но оно идентично утверждению: двуногое => петух - неверно.

Используя вышеописанную формализацию такие преобразования делаются быстро и безошибочно: нужно поменять утверждения местами и навесить на них отрицания.

В - необходимое условие для А, когда из A => B. Или при невыполнении условия B автоматически не выполняется условие A.

Петух - необходимое условие для двуногости. То есть если мы видим трехногое создание - можем смело утверждать, что это не петух (обращение следствия).

B - достаточное условие для A, когда A <= B (из B следует A). Если выполняется B - автоматически выполняется A.

В данном случае можно вполне определенно сказать, что петух - необходимое условие для двуногости, в то время как двуногость - достаточное условие (признак) петуха.

Необходимые условия для А - то, что следует из А, а достаточные - то, из чего следует А.

Другое название достаточного условия - признак. Все это - дороги "в другую сторону", противоположную необходимости.

Такая штука как критерий - это объединение обоих условий в одно:

В результате A и B равносильны. Это понятие достаточно затаскано и может означать несколько другое ( уравнения равносильны: множества решений совпадают ), что , конечно же, будет совместимо с данным выше определением.

Для того, чтобы доказать критерий, нужно доказать A => B и B => A.

Естественно, это можно заменить на A => B и не A => не B

Например: будем говорить, что объект имеет свойство A, если выполняется утверждение X.
Или: Объект называется А, если он имеет свойство X.

Определение - дорога в обе стороны: данный объект A - значит он имеет свойства X по определению И обратно, объект имеет свойства X - значит это A.

Пусть у нас есть определение объекта, например:

И критерий:

И то и другое - дороги в обе стороны: (1) <=> два <=> (2). Так почему одно называется определением, а другое - критерием 8-(...) ?

На самом деле без разницы, что из них как называется. С учетом того, что хоть одно "определение" должно быть ;-). Определение называется таковым просто _по традиции_, а на самом деле оно равносильно критерию, и их вполне можно поменять местами. Как не определи двойку - оба утверждения будут выполняться. И обратно: выполняется хоть одно утверждение - значит, наше число - двойка.